约瑟夫问题

递归解法推理过程

约瑟夫问题的递归解法主要基于以下思想：

1. 基本情况： 如果只有一个人，那么他就是最后剩下的人。
2. 递归关系： 假设我们知道 n-1 个人时，最后剩下的人的位置，我们可以推导出 n 个人时的最后剩下的人的位置。

设 f(n, k) 表示 n 个人、每数到 k 杀掉一个人的最后剩下的人的位置（0-based）。我们可以推导出以下递归关系：

$f(n, k) = (f(n-1, k) + k) \% n$

推导过程

1. 基础情况：

   • 当 n = 1 时，最后剩下的人位置是 0。即 f(1, k) = 0。

2. 递归情况：

   • 假设我们知道 f(n-1, k) 的结果，即 n-1 个人时最后剩下的人位置。
   • 加上k个位置后再取模n，我们可以得到n个人时最后剩下的人的位置。

实现

根据上述推理，我们可以实现递归解法：

function lastRemaining(n, k) {
    function josephus(n, k) {
        // 基础情况
        if (n === 1) {
            return 0;
        } else {
            // 递归情况
            return (josephus(n - 1, k) + k) % n;
        }
    }
    // 调用递归函数
    return josephus(n, k);
}

详细推理过程

假设 num = 5 和 target = 3，我们逐步展示每一步的递归过程：

1. 初始调用： lastRemaining(5, 3)

2. 递归调用：

   • josephus(5, 3)
     • 需要 josephus(4, 3)
       • 需要 josephus(3, 3)
         • 需要 josephus(2, 3)
           • 需要 josephus(1, 3)

3. 基础情况：

   • josephus(1, 3) = 0

4. 返回值计算：

   • josephus(2, 3) = (0 + 3) % 2 = 1
   • josephus(3, 3) = (1 + 3) % 3 = 1
   • josephus(4, 3) = (1 + 3) % 4 = 0
   • josephus(5, 3) = (0 + 3) % 5 = 3

总结

通过递归方式，我们逐步从基础情况推导出最后的结果。每次递归调用都基于前一次的结果加上target后再取模当前人数，从而最终得到结果。

这个递归解法时间复杂度是 O(n)，空间复杂度由于递归调用栈也为 O(n)。

完整代码

function lastRemaining(n, k) {
    function josephus(n, k) {
        // 基础情况
        if (n === 1) {
            return 0;
        } else {
            // 递归情况
            return (josephus(n - 1, k) + k) % n;
        }
    }
    // 调用递归函数
    return josephus(n, k);
}